第5章 容斥抽屉(1/1)

首发：~第5章 容斥抽屉

（阳光斜斜地洒进教室，黑板上密密麻麻写满了计数问题例题。我盯着那些加乘符号和公式，心里直犯嘀咕，趁着老师讲解抽屉原理的间隙，举起了手）

我：“老师，这些原理太绕了！加法和乘法还好理解，可容斥原理和抽屉原理根本用不上实际问题，不就是数学书上的文字游戏吗？”

老师（停下粉笔，转身推了推眼镜）：“同学，数学原理都来源于实际生活。比如抽屉原理，你想想，如果有3个苹果放进2个抽屉……”

我（打断道）：“我知道！至少有一个抽屉放2个苹果。但这有什么用？现实里谁会没事把苹果塞抽屉啊？还有容斥原理，又是重复又是排斥的，直接把人数加起来不就好了？”

老师（皱起眉头）：“上个月校运会报名，30人参加跑步，25人参加跳远，10人两项都报。按你的方法，总人数是55人？可实际上只有45人啊。”

我（涨红了脸）：“那只是巧合！而且就算要用容斥原理，背公式就行了，何必讲这么多推导过程？”

后排同学开始窃窃私语，老师的脸色沉了下来：“数学不是背公式的学科。容斥原理的推导过程，是为了让你们理解为什么要减去重复部分，这才是数学思维的核心。”

我（猛地站起来）：“可考试只看答案！我用笨方法慢慢算，只要结果对就行，为什么非要学这些花里胡哨的原理？”

老师（提高声调）：“等遇到复杂问题，比如三个集合的容斥，或者带限制条件的抽屉问题，你的‘笨方法’要算到什么时候？去年竞赛题里，有一道涉及多层嵌套的抽屉原理……”

我（激动地拍桌子）：“那是竞赛题！我们普通学生根本用不上！老师你总是拿难题来证明方法的重要性，可日常练习和考试根本没这么难！”

教室里一片寂静，只有吊扇转动的嗡嗡声。老师深吸一口气，在黑板上画了个大表格：“好，我们现场验证。这道题：从1到100的自然数中，能被3或5整除的数有多少个？你用普通加法，我用容斥原理。”

我抓起笔在草稿纸上演算，先数出能被3整除的33个数，再数出能被5整除的20个数，正要相加时，突然想起老师说的“重复部分”，手指顿在纸上。这时老师已经写下答案：“33 + 20 - 6 = 47，能同时被3和5整除（即被15整除）的有6个数，这就是重复计数的部分。”

我（梗着脖子）：“这次是你运气好！抽屉原理肯定没用！”

老师（冷笑一声）：“那我们换个场景。现在有5种颜色的袜子各10只混在一起，黑暗中至少摸出几只才能保证有两双颜色相同的袜子？”

我（脱口而出）：“10只！每种颜色各摸2只。”

老师在黑板上快速画图：“如果前5次摸到5种不同颜色，第6次随便摸一只就能配成一双。但要保证两双，假设第7次又摸到和第6次同色，这时还是只有一双，所以至少需要……”

我（打断）：“至少9只！但这是特殊设计的题目，现实中谁会这样摸袜子？”

老师（气得脸色发白）：“抽屉原理的本质是‘最不利原则’，在数据加密、资源分配领域都有应用！你总以‘没用’否定知识，是对数学的傲慢！”

我（眼眶发红）：“我只是觉得学了用不上！每天背这些原理，考试一紧张还是会忘，还不如多做几道基础题！”

下课铃突然响起，老师沉默着收拾教案。我呆坐在座位上，看着草稿纸上凌乱的数字，想起上次月考因为没考虑重复计数丢了8分，心里泛起一丝懊悔。但想到老师刚才严厉的语气，又倔强地别过头。

同桌递来张纸条：“其实我觉得老师说得对，上次编程课用到抽屉原理分配内存……”我捏皱纸条，望向窗外，夕阳把梧桐树的影子拉得很长，就像我此刻纷乱又迷茫的思绪。