第542章 你略懂？(1/2)

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池远点了点头，没有立即开口，也没有放弃的打算，他是真的在组织语言。

虽然他对数学的学习并没有对物理的那样深入，但数学本就是很多学科的基础。

无可避免地，无论是数学的意识，还是各种理论，都会在其他学科中，不经意间被提及使用。

尤其是物理。

哥德尔不完备定理，池远就是在物理学习过程中接触到的。准确地来说，是在学习爱因斯坦的相关理论时，书中提到了他的朋友——哥德尔。

一个搞数学和逻辑的孤僻数学家，最好的朋友就是爱因斯坦。

要是仅是这点，池远或许不会对这个人多加了解，但哥德尔的理论吸引了他的注意力——数学工作是靠数学证明来完成的，如果认为它对，必须证明，这是数学家们的共识；另外一个共识便是，每个证明总得有个出发点，不然证明就无法开始。这些出发点，也就是‘数学公理’。

从学习数学开始，老师们都说，数学公理就是‘不证自明的基本事实’。

作为起点，作为坚实的基础，这样的‘公理’，或者说一系列的数学事实，在哥德尔那个时代，数学家们认为，‘公理集’必然是一致的，即，不会导致矛盾，同时也是完备的，以作为所有数学真理的基础。

但是，25岁的哥德尔证明：任何一个你假定的、能作为数学基础公理集，都不可避免地是不完备的。简而言之，总有一些关于数的事实不能被这些公理证明。

所以，人力构造的数学系统无法完备。总是存在一些确定为真的东西，算法上不可穷尽，是人力构造的逻辑系统无法达到。这些为真的东西就是数学的理念世界，它们有确定的真值，不论人有没有去研究它。

数学不由人心创造。就像‘1+1=2’不是人创造发明的，仅仅是人类发现了它，并用更方便的符号表达了出来。

有种哲学意味了对不对？但如何证明呢？

池远花了一分钟整理好了思路，精准到了每一个字，才语气平稳地开口道：

“哥德尔不完备定理是哥德尔在1931年证明并发表了，它分两条定理……”

听到‘1931’这个字眼，李莹的眉头忍不住抖了抖——哪有人学数学，还记定理是什么时候提出、发表的？

“第一条定理指出：任何自洽的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题，因此通过推理演绎不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。”

“第二条定理指出：任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴含皮亚诺算术公理，它就不能用于证明其本身的自洽性。”

“要想证明，只要证明初等算数数论Π是不完全的，采用相同的方法就可以证明任何包含Π的形式理论都是不完全的。”

“证明证明Π的不完全性的关键是在于构造出初等算数语言中的一个含义为真的语句Α……”

“包含初等算数理论的意义是它包含所有正整数（无穷元素）。而命题和证明都可以被映射到正整数。另一方面……”

“所构造的语句Α类似于“说谎者悖论”，即，这句话在说谎，但a是“本语句不可证”……”

“不完全，那么包含的Π不完全，那么包含Π的形式系统不完全。得证。”

别管这对不对，反正，在当池远说到两个公理的具体内容时，吴平已经开始头皮冒汗、汗流浃背了。

‘皮亚诺公理’他知道，皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。

但整句话合起来，意思都懂，但怎么理解不明白？

再听证明思路，他已经听不下去了，满脑子都是——

这特么刚高中毕业？

问题是，领导提这题当面试题目，他们实习生要求这么恐怖……那他这个正式员工？